Teoría de Conjuntos
DEFINICIONES
Sabemos que la palabra conjunto implica la idea de una colección de objetos que se caracterizan en algo común.
En matemática tiene el mismo significado, sólo que a estos objetos se les llama elementos o miembros del conjunto.
La noción simple de una colección o conjunto de objetos es fundamental en la estructura básica de las matemáticas y fue Georg Cantor, en los años 1870 quien primero llamó la atención de los matemáticos a este respecto.
No puede darse una definición satisfactoria de un conjunto en términos de conceptos simples, por lo tanto la palabra "CONJUNTO" debe aceptarse lógicamente como un término no definido.
Un conjunto es una colección bien definida de objetos de cualquier clase.
Hay dos formas de determinar conjuntos.
Por extensión ó Forma Tabular:
Se dice que un conjunto es determinado por extensión (o enumeración), cuando se da una lista que comprende a todos los elementos del conjunto y sólo a ellos.
Ejemplo:
A = { a, e, i, o, u }
B = { 0, 2, 4, 6, 8 }
C = { c, , , j, u, t, s } En un conjunto determinado por extensión no se repite un mismo elemento.
Por comprensión ó Forma Constructiva:
Se dice que un conjunto es determinado por comprensión, cuando se da una propiedad que la cumpla en todos los elementos del conjunto y sólo a ellos.
Ejemplo:
A = { x/x es una vocal }
B = { x/x es un número par menor que 10 }
C = { x/x es una letra de la palabra conjuntos }
CONJUNTOS FINITOS
Un conjunto es finito si consta de un cierto número de elementos distintos, es decir si al contar los diferentes elementos del conjunto el proceso de contar puede acabar. En caso contrario, el conjunto es infinito.
Ejemplo:
M = { x / x es un río de la tierra } Conjunto finito
N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ... } Conjunto infinito
P = { x / x es un país de la tierra } Conjunto finito
V = { 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, ... } Conjunto infinito
IGUALDAD DE CONJUNTOS
Se dice que 2 conjuntos A y B son iguales cuando ambos tienen los mismos elementos, es decir si cada elemento de A pertenece a B y si cada elemento que pertenece a B pertenece también a A. La igualdad se denota A = B.
En la igualdad, el orden de los elementos de cada conjunto no importa.
Ejemplo:
A = {1, 2, 3, 4} C = {1, 2, 3, 3, 4, 1} E = {vocal de la palabra mundo}
B = {3, 4, 1, 2} D = {1, 2, 2, 3, 4, 4,} F = {u, o}
A = B C = D E = F
CONJUNTO VACÍO
Es un conjunto que carece de elementos. Se suele llamarle conjunto nulo, y se le denota por el símbolo ø o { }.
Ejemplo:
A = { Los perros que vuelan } A = { } A = Ø
B = { x / x es un mes que tiene 53 días} B = { } B = Ø
C = { x / x3 = 8 y x es impar } C = { } C = Ø
D = { x / x es un día de 90 horas } D = { } D = Ø
CONJUNTO UNITARIO
Es todo conjunto que está formado por un sólo y único elemento.
Ejemplo:
A = { 5 }
B = {números pares entre 6 y 10} = { 8 }
C = {la capital del Perú } = { Lima }
D = {x / 2x = 6} = {3}
CONJUNTO UNIVERSAL
Es el conjunto que contiene a todos los elementos del discurso. Es un término relativo. Se le denota por la letra U.
Ejemplo:
Sean los conjuntos:
A = { aves } B = { peces } C = { conejos } D = { monos }
Existe otro conjunto que incluye a los conjuntos A, B, C y D. Es
U = { animales }
Gráficamente se representa por un rectángulo tal como se observa a continuación.
Sean los conjuntos:
E = { mujeres } F = { hombres }
Existe otro conjunto que incluye a los conjuntos E y F. Es
U = { seres humanos }
Gráficamente se representa por un rectángulo tal como se observa a continuación.
CONJUNTO POTENCIA
La familia de todos los subconjuntos de un conjunto M se llama Conjunto Potencia de M. Se le denota como 2M .
Ejemplo:
a) M = { 1, 2 } El conjunto M tiene 2 elementos
2M = { {1}, {2}, {1, 2}, ø} entonces 22 = 4 elementos
b) M = { 1, 2, 3 } El conjunto M tiene 3 elementos
2M = { {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}, ø} entonces 23 = 8 elementos
Si un conjunto M es finito con "n" elementos, entonces su conjunto potencia 2M tendrá 2n elementos.
CONJUNTOS DISJUNTOS
Si dos conjuntos A y B no tienen ningún elemento común entonces A y B son disjuntos.
Ejemplo:
Conjuntos disjuntos Conjuntos no disjuntos
A = { 2, 4, 6 } M = { o, p, q, r, s }
B = { 1, 3, 5 } N = { s, t, v, u }
A y B son disjuntos. M y N no son disjuntos.
C = { x/x es una letra del alfabeto } P = { x/x es una letra de la palabra aritmética }
D = { x/x es un número } Q = { x/x es una letra de la palabra algebra }
C y D son disjuntos P y Q no son disjuntos
DIAGRAMA DE VENN
A cada conjunto se le considera encerrado dentro de una curva (plana) cerrada. Los elementos del conjunto considerado pueden ser específicamente dibujados o pueden quedar (implícitamente) sobreentendidos. Los diagramas son empleados, para representar tanto a los conjuntos como a sus operaciones, y constituyen una poderosa herramienta geométrica, desprovista de validez lógica.
A continuación representaremos algunos conjuntos y verificaremos algunas igualdades (las intersecciones de dos o más conjuntos quedan caracterizados por el rayado múltiple).
El gráfico es la representación de la unión
El gráfico es la representación de la intersección
El gráfico es la representación de la diferencia
UNIÓN DE CONJUNTOS
La unión de los conjuntos A y B es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A o a B o a ambos. Se denota: A U B. La unión de conjuntos se define como:
A U B = {x / x A o x B}
En forma gráfica:
Cuando no tienen Cuando tienen algunos Cuando todos los elementos de un
elementos comunes elementos comunes conjunto pertenecen a otro conjunto
Ejemplo:
1. Dados los conjuntos: A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 }, B = { 0, 2, 4 } y C = { 5, 6, 8 }, efectuar y construir los diagramas respectivos:
a) A U C b) B U C c) A U B
Tenemos:
a) A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } y C = { 5, 6, 8 }
A U C = { 0, 1, 2, 3, 4, , 6, 8 }
Representación gráfica de la unión de conjuntos A y C
b) B = { 0, 2, 4 } y C = { 5, 6, 8 }
B U C = { 0, 2, 4, 5, 6, 8 }
Representación gráfica de la unión de conjuntos B y C
c) A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } y B = { 0, 2, 4 }
A U B = { , 1, , 3, , 5 }
Representación gráfica de la unión de conjuntos A y B
INTERSECCIÓN DE CONJUNTO
Se define la intersección de dos conjuntos A y B al conjunto de elementos que son comunes a A y B. Se denota por A B, que se lee: A intersección B. La intersección de A y B también se puede definir:
A B = { x / x A y x B } y mediante un diagrama de Venn-Euler:
Cuando tienen Cuando no tienen Cuando todos los elementos de un
elementos comunes elementos comunes conjunto pertenecen a otro conjunto
Ejemplo:
1. Dados los conjuntos: A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 }, B = { 3, 5, 7 } y C = { 2, 4 }, efectuar y construir los diagramas respectivos:
a) A C b) B C c) A B
Tenemos:
a) A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } y C = { 2, 4 }
A C = { , }
Representación gráfica de la intersección de conjuntos A y C
b) B = { 3, 5, 7 } y C = { 2, 4 }
B C = { }
Representación gráfica de la intersección de conjuntos B y C
c) A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } y B = { 3, 5, 7 }
A B = { , }
Representación gráfica de la intersección de conjuntos A y B
DIFERENCIA DE CONJUNTOS
Se denomina diferencia de dos conjuntos A y B al conjunto formado por todos los elementos de A pero que no pertenecen a B.
La diferencia se denota por: A - B que se lee: A diferencia B o A menos B. Se define la diferencia de dos conjuntos también como:
A - B = {x / x A y x B}
Mediante un diagrama de Venn - Euler:
Cuando no tienen Cuando tienen Cuando todos los elementos de un
elementos comunes elementos comunes conjunto pertenecen a otro conjunto
Ejemplo:
1. Dados los conjuntos: A = { a, b, c, d, e }, B = { a, e } y C = { d, f, g }, efectuar y construir los diagramas respectivos:
a) A – C b) B - C c) A - B
Tenemos:
a) A = { a, b, c, d, e } y C = { d, f, g }
A - C = { a, b, c, e }
Representación gráfica de la diferencia de conjuntos A y C
b) B = { a, e } y C = { d, f, g }
B - C = { a, e }
Representación gráfica de la diferencia de conjuntos B y C
c) A = { a, b, c, d, e } y B = { a, e }
A - B = { b, c, d }
Representación gráfica de la diferencia de conjuntos A y B